Quadratische Funktionen Wertetabelle Beispiel Essay

Quadratische Funktionen begegnen dir öfters als du glaubst. Wir schauen uns hier zunächst einmal an, was eine quadratische Funktion ist, um sie dann zeichnen zu können. 

Was ist eine quadratische Funktion?

Bei quadratischen Funktionen bzw. Gleichungen wird das x zum Quadrat genommen. Daher heißen sie auch quadratische Funktionen. Aus dem gleichen Grund gibt es zu jeden y-Wert zwei x-Werte!

Auch im Alltag begegnen dir einige quadratische Funktionen. Zum Beispiel haben die meisten Brücken die Form einer Parabel.

Parabel ist eigentlich nur ein anderes Wort für die typische Form einer quadratischen Funktion, welche du noch näher kennenlernen wirst.

Die Änderung der Temperatur im Verlauf des Tages, erinnert an den Verlauf einer quadratischen Funktion. Wenn du die Abhängigkeit von Temperatur zur Zeit in ein Koordinatensystem einzeichnen würdest, würde die Funktion der Form einer Parabel ähneln. Am Anfang des Tages ist sie am niedrigsten, dann steigt sie bis zur Mittagszeit auf ihren Hochpunkt und sinkt danach wieder bis zur niedrigsten Temperatur.

Anlegen einer Wertetabelle

Erst einmal schauen wir uns den Graph von der Funktion $f(x) = x^2$ an. Dazu können wir eine Wertetabelle erstellen. Wir setzen in die Funktion beliebige x-Werte ein und erhalten durch ausrechnen den y-Wert.

Punkte ins Koordinatensystem eintragen

Nun haben wir schon 8 Punkte, die wir in unser Koordinatensystem einzeichnen können. Für die negativen x-Werte, also -1, -2, -3, -4 können wir nämlich die gleichen Zahlen, wie für die positiven x-Werte, einsetzen. Da $-1\cdot-1 = 1$ ist, genauso ist es mit $-2\cdot-2 = 4$ und so weiter. Also haben die positiven und negativen x-Wert, bei einer quadratischen Gleichung, immer den gleichen positiven y-Wert. Und genau das macht unsere quadratische Gleichung aus.

Graph zeichnen

Versuche nun einmal den Graph selber zu zeichnen, indem du die Punkte miteinander verbindest. Schaue dir dann die Abbildung an und vergleiche sie mit deiner Zeichnung.

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Abbildung der Funktion
Dies ist der Graph der Normalparabel.

Beispielaufgabe zeichnen einer quadratischen Funktion

Ein anderes Beispiel mit einer kleinen Veränderung ist die Funktion $f(x) = x^2+1$. Zuerst machen wir wieder unsere Wertetabelle.

Aus der Tabelle können wir wieder Punkte entnehmen und die in unser Koordinatensystem einzeichnen. Und genau wie eben kann für den negativen x-Wert der gleiche Wert von y eingezeichnet werden. Daher ist es beim einzeichnen hilfreich, zuerst den positiven und dann direkt den negativen Wert einzuzeichnen. Somit musst du nicht zweimal nach dem y-Wert suchen.

Zeichne nun die Funktion selber oder überlege was mit deiner Funktion $f(x) = x^2$ passiert.

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Abbildung der verschobenen Funktion

Wie du siehst, wurde unsere Funktion von eben ($f(x) = x^2$) um 1 Einheit nach oben verschoben

In der Gleichung wird die Verschiebung nach oben oder unten von der Normalparabel ($x^2$) durch ein plus oder minus hinter dem $x^2$ angedeutet. So gibt es zum Beispiel auch die Funktion $f(x) = x^2+99$ bei der die Normalparabel um 99 Einheiten nach oben verschoben wird.

Es geht auch anders herum. Eine Funktion kann auch nach unten verschoben werden. Ein einfaches Beispiel ist $f(x) = x^2-1$. Dann wir der Graph um 1 Einheit nach unten verschoben und sieht dann so aus:

Dabei entstehen, wie du wahrscheinlich schon siehst, Nullstellen. Bei dem oberen Graphen sind die Punkte $A(0/-1)$ und $B(0/1)$ Nullstellen, dazu kommen wir aber später nochmal.

So jetzt weißt du, was eine quadratisch Funktion ist und wie du sie zeichnen kannst. Ein wesentlicher Unterschied zur linearen Funktion ist, dass du für jeden y-Wert zwei x-Werte erhältst.

Teste dein neu erlerntes Wissen mit unseren Übungsaufgaben. Wir wünschen dabei viel Spaß!

In diesem Abschnitt beschäftigen wir uns mit den so genannten quadratischen Funktionen und dem Zeichnen dieser. Dabei zeigen wir euch zunächst, worum es sich bei diesem Funktionstyp überhaupt handelt. Anschließend gehen wir auf das Zeichen dieser ein.

Als quadratische Funktion bezeichnet man eine Funktion, welche die folgende Form hat: f(x) = ax2 + bx + c mit a ungleich Null. Oftmals wird auch die Gleichung y = ax2 + bx + c verwendet. Dabei sind a, b und c beliebige Zahlen, wobei a wie bereits beschrieben ungleich Null sein muss. Die folgenden Beispiele demonstrieren dies:

  • y = 5x2 + 3x + 5
  • y = 2x2 + 2x + 8
  • y = 4x2 + 2
  • y = 2x2
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Quadratische Funktion: Parabel

Beginnen wir mit einer quadratischen Funktion, die besonders einfach ist: Einer Parabel. Diese hat zum Beispiel die Form f(x) = y = x2 und soll im Folgenden gezeichnet werden. Für alle, die sich unter einer Wertetabelle oder einem Koordinatensystem noch nichts vorstellen können, steht der Artikel Lineare Funktionen bereit ( Wird in neuem Browser-Fenster geöffnet ).

So werden quadratischen Funktionen und Parabeln gezeichnet:

  • Zuerst die Wertetabelle anlegen. Dazu werden wie immer Zahlen für x eingesetzt und damit y ausgerechnet.
  • An den Schnittstellen x-y die Kreuzchen machen um die Schnittpunkte zu markieren.
  • Die Punkte werden verbunden. Wir haben hier jedoch keinen linearen Zusammenhang. Deswegen dürft ihr keine Gerade zeichnen, sondern den Verlauf in etwa "vorhersehen". Wer damit noch Probleme hat, der sollte nicht nur Zahlen wie 1, 2, 3 für x einsetzen, sondern auch Dezimalzahlen / Kommazahlen ( 1,2 oder 1,3 etc. ) um mehr Punkte zu finden.
  • Die Funktion setzt sich natürlich weiter nach oben fort, auch wenn keine zusätzlichen Punkte eingetragen weden.
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Quadratische Funktion: Beispiel 2

Die Parabel, die wir uns eben angesehen haben, war noch recht einfach. Zum besseren Verständnis, wollen wir nun eine etwas kompliziertere Funktion zeichnen. Dazu nehmen wir uns die Funktion f(x) = y = -0,5x2 + 3 vor. Auch hier erstellen wir wieder eine Wertetabelle und zeichnen mit dieser die Funktion in ein x-y-Koordinatensystem ein.

Hinweis: Von der Vorgehensweise ist es immer das selbe Spiel:  Wertetabelle, Punkte einzeichnen und Punkte verbinden. Das unangenehme bei dieser Funktion ist das Vorzeichen, wenn eine negative Zahl eingesetzt wird. Hier ein Beispiel für die erste Rechnung:

  • y = -0,5 · (-3)2 + 3 = -0,5 · 9 + 3 = -4,5 + 3 = -1,5.

Um fit im Zeichnen von quadratischen Funktionen zu werden, rate ich euch, unsere Übungen und Aufgaben zum Thema selbst durchzuführen.

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